איים של יציבות

01.03.2005
01-03-2005
על המתמטיקה של כדורי ביליארד, תנועה אין-סופית ופינותיהן של מלכודות אפלות
פרופ' ורד רום-קידר. מסלולים

פול ניומן וטום קרוז, כוכבי "צבע הכסף", אולי לא ידעו זאת, אבל שולחנות ביליארד מייצגים בעיות מתמטיות מורכבות. מתמטיקאים ושחקני ביליארד מנוסים יכולים, אולי, לחשב מראש את המקום שבו יפגע כדור ביליארד הנהדף בפעם הראשונה, או השנייה, מדפנותיו של שולחן ביליארד חסר חיכוך. אבל ככל שמתרבות הפגיעות וההדיפות, הפערים הזעירים שבין זווית הפגיעה החזויה של הכדור לבין המתחולל בפועל, מצטברים ומקשים מאוד על חיזוי מסלולו של הכדור ומקוםפגיעתו בדופן השולחן. בשלב מסוים, הפערים האלה גדלים עד כדי כך שחישוב מסלולו של הכדור נעשה משימה בלתי-אפשרית בשביל בני-אדם, מיומנים ומוכשרים ככל שיהיו.
 
פרופ' ורד רום-קידר, מהמחלקה למדעי המחשב ומתמטיקה שימושית במכון ויצמן למדע, חוקרת את התכונות התיאורטיות של שולחנות ביליארד דמיוניים, ואת המסלולים האפשריים של כדורים הנהדפים שוב ושוב מדפנותיהם. השורשים ההיסטוריים של העיסוק בתכונות המתמטיות של שולחנות ביליארד נעוצים בשלהי המאה ה- 19-, כאשר לודוויג בולצמן טען, שמולקולות גז הכלואות במכל סגור מתנהגות כמו כדורים בתנועה. בדומה לכדורי ביליארד, המולקולות הללו מתנגשות אלה באלה,ומפעם לפעם פוגעות בדפנות המכל ונהדפות מהן. כך, כל אחת ממולקולות הגז נעה במסלול בלתי-יציב ובלתי-ניתן לחיזוי, הייחודי לה. תובנה זו הובילה את בולצמן לניסוח החוק הקרוי על שמו, הקובע שבממוצע, מולקולות גז מתפזרות בחלל נתון בצפיפות שווה.
 
במערכת כאוטית מאוד, כמו הגז של בולצמן, אי-אפשר לחזות את מסלול התנועה של "כדור" בודד, אבל אפשר לנבא את התוצאה הממוצעת למספר גדול של כדורים. לעומת זאת, כדור בודד הנע על פניו של שולחן ביליארד עגול, נע במסלול קבוע החוזר על עצמו שוב ושוב, וניתן לחיזוי בקלות יחסית. למעשה, צורת השולחן ממלאת תפקיד מרכזי בקביעת מסלול תנועתו של הכדור. פרופ' רום-קידר חוקרת, יחד עם פרופ' דימיטרי טורייב מאוניברסיטת בן-גוריון, שולחנות בעלי דפנות קעורות. שולחנות אלה,הקרויים שולחנות פיזור, הם הכללה של דגם פשוט יותר שבו שני דיסקים נעים על שולחן מלבני. תנועת הכדורים בשולחנות אלה היא כאוטית; כלומר, מעבר למספר מסוים של שינויי כיוון אי-אפשר לחזות אותה. פרופ' רום-קידר ופרופ' טורייב חוקרים את השינויים ההופכים מערכות כאוטיות ל"מערכות מעורבות", שבהן "איים של יציבות" (אזורים של מסלולים יציבים החוזרים על עצמם שוב ושוב, ולכן הם ניתנים לחיזוי) מתקיימים לצד אזורים אחרים שבהם מתחוללת תנועה בלתי-יציבה (שאינה ניתנת לחיזוי).
 
המדענים סבורים, שמערכות כאוטיות עשויות להפוך למערכות מעורבות כאשר, למשל, ה"כדורים" אינם פועלים כמו כדורי ביליארד, אלא כמו אלקטרונים או אטומים. חלקיקים אלה נושאים מטענים חשמליים הדוחים זה את זה, דבר שאינו מאפשר להם להתנגש זה בזה. כששני חלקיקים כאלה נעים זה לעומת זה, כוח הדחייה בין המטענים החשמליים שלהם גורם להם לסטות הצידה רגע לפני ההתנגשות. "דרך אחרת לחשוב עלהבעיה", אומרת פרופ' רום-קידר, "היא לתארמערכת בעלת כדור אחד הנע על שולחן ביליארד בעל דפנות גמישות. כדור כזה, במערכת כזאת, מהווה מודל טוב להתנהגותו של אלקטרון הסוטה ממסלול התנגשות עם גוף אחר, כתוצאה מהשפעת כוח הדחייה של המטענים החשמליים שלהם. בפועל, האלקטרון הנמנע מהתנגשות, כמו הכדור הנהדף מהדופן הגמישה של שולחן הביליארד, נע לאורך עקומה חלקה, כתוצאה מקיומו של פוטנציאל חשמלי 'חלק' או 'רך'".
 
פרופ' רום-קידר ופרופ' טורייב הוכיחו, פוטנציאל חלק מאפשר את היווצרותם שלאיי יציבות בשולחנות פיזור. הם גם גילו כיצד הקשיחות או הרכות היחסית של דפנות השולחן משפיעות על גודלם של איי היציבות, המתקיימים כאשר חלק ממסלול הכדור משיק לאחד מקטעי הדופן הקעורים של השולחן. במחקר אחר הם מצאו, שגם קליעת כדורים לפינות השולחן (כל עוד הפינות האלה הן בעלות זוויות מוגדרות וסופיות) עשויה להכניס את הכדור למסלול בלתי-כאוטי ויציב החוזר על עצמו שוב ושוב.
 
במחקרים אלה בחנו המדענים את התנהגותם של כדורי ביליארד הנעים על פניהם של שולחנות דו-ממדיים. בימים אלה, יחד עם תלמידת המחקר אנה רפופורט, הם שואפים לפתח תיאוריה מתמטית שתתאר ותחזה את התנהגותם של מספר אטומיםצ במרחב תלת-ממדי (כלומר, מערכות חלקות בממדים גבוהים יותר). "אם נצליח בזה", אומרת פרופ' רום-קידר, "נתקרב להבנת תקפות החוק של בולצמן".

כדורים בתנועה. ציור: פרופ' ורד רום-קידר   

 

מהמתמטיקה אל הפיסיקה ובחזרה                                

פרופ' ניר דודזון, מהמחלקה לפיסיקה של מערכות מורכבות במכון ויצמן למדע, עוסק בקירור אטומים, במטרה ללמוד על תכונותיהם הבסיסיות. באמצעות קרני לייזר הוא הודף את האטומים בזהירות אל תוך מלכודות מיקרוסקופיות אפלות, שאפשר לראותן כשולחנות הביליארד הקטנים בעולם. קירותיהן של המלכודות האפלות הללו עשויים גליאור שהאטומים חוזרים ונהדפים מהם, בדומה לכדורי ביליארד. פרופ' דודזון וחברי קבוצת המחקר שלו ניסו לשפר את הקירות במלכודות האלה, באמצעות שינויים בצורת המלכודת ובעובי קירות האור. אבל האטומים שנלכדו במלכודות התנהגו בדרך לא צפויה: לפני שנהדפו מהקירות, הם חדרו מעט לתוכם, כאילו שהקירות היו עשויים חומר ספוגי.תופעה זו השפיעה על זווית ההדיפה של האטומים, ועל מסלוליהם בהמשך. בשלב זה שמעו הפיסיקאים על עבודתם של פרופ' רום-קידר ופרופ' טורייב בחקר שולחנות ביליארד דמיוניים בעלי דפנות גמישות, שבהם נוצרים איים של יציבות. במבט ראשון נראה היה, שמערכות תיאורטיות אלה עשויות להוות מודל למלכודות האור האפלות של פרופ' דודזון. ואכן, התברר שהנוסחאות שפיתחו המתמטיקאים מסוגלות לנבא כיצד שינויים בעובי ובשיפועי הקירות של מלכודות האור האפלות משפיעים על תנועות האטומים הלכודים בהן. כך קיבלו הפיסיקאים הסבר מתמטי לתצפיות המעשיות שלהם.
 
בהמשך הבחינו הפיסיקאים, כי אטומים שהגיעו לפינות המלכודות נטו לחזור למקוםשבו החלו במסעם. הם סיפרו על התופעה לפרופ' רום-קידר, מה שהוביל אותה ואת פרופ' טורייב לחקירת התנאים לקיומם של איי היציבות בפינותיהם של שולחנות פיזור.

לשיתוף:

 

 

 

 

אינסטגרם