שש רגליים על השולחן

 

ב-8 באוגוסט בשנת 1900, בקונגרס המתמטיקאים הבין-לאומי שהתקיים בפריס, קם דוד הילברט, אולי המתמטיקאי הבולט ביותר של סוף המאה ה-19 וראשית המאה ה-20, והציג 10 שאלות פתוחות (מתוך רשימה מלאה שכללה 23 שאלות שאת חלקן בחר שלא להציג באירוע זה). "אלה", אמר הילברט, "הבעיות שמן הראוי שיעסיקו מתמטיקאים - ושיימצא להן פתרון - במאה ה-20". רוב הבעיות שהציג הילברט אכן נפתרו במאה ה-20, אך כמה מהן עודן פתוחות.

 

הבעיה ה-16 ברשימת הילברט כללה שני חלקים: הראשון עסק במשוואות אלגבריות מישוריות, והשני במשוואות דיפרנציאליות מישוריות. חלקה השני של הבעיה נוסח, למעשה, על-ידי הנרי פואנקרה עוד לפני שנת 1900, ובכל זאת עד היום אין התקדמות משמעותית לקראת פתרונו. על אף הקושי שהבעיה טומנת בחובה, אפשר לנסח אותה בפשטות יחסית: כמה מעגלים גבוליים יכולים להיות למשוואה דיפרנציאלית מישורית מדרגה נתונה?

 

זה אולי המקום לומר שפתרונות של משוואה דיפרנציאלית מישורית מתבטאים כקווים עקומים במישור, שאינם חותכים את עצמם. כאשר קו כזה חוזר על עקבותיו ו"נסגר", הוא נקרא מעגל. בדרך כלל, כל הפתרונות הקרובים למעגל חגים סביבו הלוך וסוב ומרחקם אליו קטן והולך בכל סיבוב. במקרה זה נקרא המעגל "מעגל גבולי", שכן הוא הגבול של כל הפתרונות השכנים לו. חשיבותם של המעגלים הגבוליים נובעת מכך שהם מלמדים לא רק על עצמם, אלא על כל הפתרונות הסמוכים להם.

 

ניסיונות שונים לפתור את הבעיה לאורך השנים הוכחו בסופו של דבר כשגויים. ההתקדמות המשמעותית ביותר נעשתה על-ידי המתמטיקאים יולי איליישנקו וז'אן אקאל, אשר הוכיחו (באופן בלתי תלוי) שלכל משוואה דיפרנציאלית במישור יש מספר סופי של מעגלים גבוליים - אך עבודתם זו, שהייתה פרויקט אדיר, עדיין רחוקה מלספק תשובה לבעיה של הילברט. משהתברר לקהילת המתמטיקאים שהבעיה בכללותה עומדת בכל מאמצי הפתרון, הקדישו מתמטיקאים רבים את מרצם לבעיות-ביניים "מוחלשות" שבהן, כך קיוו, יוכלו להשיג התקדמות.

 

אחד מהכיוונים החל מהצעתו של איליישנקו לוותר בשלב זה על משוואות דיפרנציאליות כלליות ולהתמקד במשוואות מיוחדות - המשוואות ההמילטוניות. משוואות מסוג זה מופיעות בניסוחים פיסיקליים של מערכות מכניות, ונודעה להן חשיבות מיוחדת - שכן מתקיים בהן שיווי משקל אנרגטי מושלם, ובפרט מתברר שאין להן מעגלים גבוליים כלל.

 

אבל זו רק ההתחלה. מתברר שאפילו השינוי הקטן שבקטנים שובר בדרך כלל את שיווי המשקל האנרגטי של המשוואה, ולאחריו נולדים, כאילו יש מאין, מעגלים גבוליים. איליישנקו הציע לנסות ולהבין כמה מעגלים יכולים להיווצר באופן זה ממערכת המילטונית, או לפחות לקבוע חסם עליון למספרם. בעיה זו נחקרה תחת מספר שמות על-ידי חוקרים שונים, אך בשמה הנפוץ ביותר היא נקראת "הבעיה ה-16 האינפיניטיסימלית".

 

פרופ' סרגי יעקובנקו, ראש המחלקה למתמטיקה במכון ויצמן למדע, התמקד במקרה פרטי של הבעיה ה-16 האינפיניטיסימלית בעבודת המאסטר שלו בהנחיית איליישנקו באוניברסיטת מוסקבה בברית-המועצות. "מאז", הוא אומר, "אני חוזר לשאלה הזאת שוב ושוב. זה, בשבילי, סוג של מגדלור שמושך אותי אליו ללא הרף". שנים לאחר מכן, ביחד עם תלמידו דמיטרי נוביקוב, כיום פרופסור במחלקה למתמטיקה במכון ויצמן למדע, הצליח פרופ' יעקובנקו לקבל כמה תוצאות ביניים. אבל הדרך לפתרון הבעיה ה-16 האינפיניטיסימלית נותרה עדיין חסומה.

 

חלפו עוד שמונה שנים, ומי שהציץ למשרדו של פרופ' יעקובנקו, נתקל בדממה של מחשבה עמוקה - ובשש רגליים שנשענו ברישול על השולחן. רגליהם של פרופ' יעקובנקו, ד"ר נוביקוב ותלמיד המחקר, דאז, גל בנימיני. "מלחמת מוחות מול קיר חוסם", מתאר זאת פרופ' יעקובנקו. "זו הייתה התקופה המרגשת והמסעירה ביותר בחיי המקצועיים".

 

ד"ר בנימיני: "יום אחד בזמן שצעדתי סביב המכון, כהרגלי, חשבתי על העבודה של תלמיד אחר של פרופ' יעקובנקו, ד"ר אלקסיי גריגורייב. לפתע עלתה במוחי המחשבה שניתן 'לסובב' או 'למתוח' את התמונה שהוא צייר בדרכים שונות".

 

לאחר כל סיבוב ומתיחה אפשר היה לבחון את רעיונותיהם של גריגורייב, יעקובנקו, נוביקוב ואחרים מזווית חדשה - ולעתים התגלה מידע שקשה היה לראותו מלכתחילה. המידע הנוסף שהתקבל בדרך זו איפשר לשלושת המתמטיקאים ממכון ויצמן למדע לקבוע חסם עליון אשר מהווה פתרון מלא של הבעיה ה-16 האינפיניטיסימלית.

 

"זה", אומר פרופ' יעקובנקו, "עדיין רחוק מאוד מפתרון מלא של הבעיה ה-16 של הילברט. אבל גם הבעיה ה-16 האינפיניטיסימלית עמדה פתוחה במשך 50 שנים עד שהצלחנו למצוא עבורה פתרון בדרך של קביעת חסם עליון. העבודה הזו היא אחת מההתקדמויות המשמעותיות ביותר שהתחוללו בתחום מזה כמה עשורים".