חוקי המשחק

01.06.2007
פרופ' דורון גפנר. חוג המיזוג
 
 
הסקרנות האנושית מובילה אותנו לפעמים למחוזות שקשה לשערם. הניסיונות להבין את העולם שבו אנו חיים לא רק מבחינים את בני-האדם מבעלי-החיים. הם גם משרטטים את האבולוציה של התרבות האנושית, וממיינים את התפיסות והרעיונות שהתפתחו בקהילות שונות, בזמנים שונים ובמקומות שונים. ככל שהדברים אמורים בפונקציית המטרה, אין הבדל גדול בין הפילוסופים, התיאולוגים והמדענים. כולם רוצים לדעת כיצד יגיב העולם למעשה כזה או אחר. או, מה בדיוק יקרה אם נלחץ על כפתור מסוים. מה, באמת, הם חוקי המשחק שלפיהם מתנהג "העולם". אבל למה בדיוק אנחנו מתכוונים כשאנחנו אומרים "העולם": ליקום ומלואו? למודל מפושט שמייצג את היקום? התשובה על השאלה הזאת תלויה במידת הדיוק שרוצים לקבל. אם מוכנים לפשרות בעניין רמת הדיוק, אפשר לדבר על היקום השלם. אם מתעקשים על דיוק מלא, נראה שאין ברירה אלא להתפשר על צמצום או פישוט מסוים של הגדרת "העולם".
 
הפיסיקאים, מתברר, בוחנים "עולמות" רבים ושונים. כמה מהם תיאורטיים לחלוטין, אבל כולם יכולים ללמד אותנו משהו על העולם האמיתי שבו אנו חיים.
 
סוג אחד של מערכות כאלה הן תורות שדה. למשל, תורת שדה קוואנטית היא תורה שיש בה שדה המחולק למנות של פוטונים (שדה אלקטרו-מגנטי). תורת שדה בארבעה ממדים נבחנה ואושרה - בתיאוריה ובניסויים - בדיוק של עד 13 ספרות אחרי הנקודה. למעשה, זו התורה הפיסיקלית שנחקרה בדיוק הרב ביותר.
 
לשם השוואה, תורות שדה דו-ממדיות מסוג מסוים ("קונפורמיות רציונליות"), שאינן כוללות מאסה, אפשר לפתור במדויק. הפתרון הזה עשוי לשמש מודל למעברי פאזה (כמו המעברים של חומר ממצב צבירה אחד למצב צבירה אחר), וכן כמודל לתורות מיתרים שבהן אפשר לחשב את ארבעת הכוחות הפועלים ביקום. לא מדובר כאן במודל אחד ויחיד, שכן קיימות אין-סוף תורות כאלה, ולמעשה, מכיוון שלכל מספר שנבחר יכולות להיות אין-סוף תורות כאלה, אפשר לומר שמדובר באין-סוף אין-סופים. איך אפשר לסדר כמות אין-סופית כזאת של תורות? זו השאלה שהעסיקה את פרופ' דורון גפנר מהמחלקה לפיסיקה של חלקיקים ממכון ויצמן למדע. במאמר שפירסם באחרונה בכתב-העת המדעי International Journal of Modern Phisics B מציג פרופ' גפנר דרך למיין את כל תורות השדה (הקונפורמיות רציונליות) בשני ממדים.
 

חוג המיזוג

השיטה שיצר פרופ' גפנר מבוססת על מושג הקרוי "חוג המיזוג", שהוא מיזוג של שני שדות ליצירת שדה שלישי. מתברר, שבכל מודל (של העולם) מתקיימים מספר שדות ראשוניים (למשל, שדה אלקטרו-מגנטי), שמהם נוצרים כל סוגי השדות האחרים. השדות הראשוניים האלה מקיימים "חוג" של שדות שנוצרים מהכפלה של שני שדות כאלה. "חוג" בהקשר הזה הוא קבוצה שבין החברים בה מתקיימים קשרים של חיבור וכפל (כשסדר ההכפלה אינו משנה את התוצאה). למשל, חבר אחד בקבוצה הוא מכפלה של שני חברים אחרים; חבר אחר יכול להוות מכפלה של שלושה חברים אחרים זה בזה. כשמדובר במספרים, זה תמיד נכון, אבל כאשר מציבים להכפלה מרכיבים מופשטים, כמו שדות, התכונה הזאת אינה אוטומטית ואינה מובטחת.
 
למעשה, תורות שדות שונות יכולות לקיים יחסים שונים בין השדות. לדוגמה, מודל אייזינג מתאר את היחסים בשדה מגנטי דו-ממדי. אם נחלק את השדה הזה בקווי אורך ורוחב למעין רשת, כי אז, לפי מודל אייזינג, האנרגיה של המודל מתאימה לסכום האנרגיה של כל הצמתים שבהם ממוקמים מגנטים קטנים המכוונים כלפי מעלה או כלפי מטה. זהו מודל סטטיסטי המתאים לתורה קונפורמית רציונלית דו-ממדית של חלקיקים בעלי ספין (פרמיונים), המסתחררים בכיוון אחד (מעלה או מטה) בדומה למגנטים הקטנים המכוונים גם הם כלפי מעלה או מטה. כל המודלים מסוג זה מתאימים לתורות שדה מסוימות.
 

תורת החבורות

כדי למיין את התורות הרבות האלה, השתמש פרופ' גפנר בכלי הקרוי "חבורת גלואה אבלית". כלי זה קרוי על שמם של שני מתמטיקאים שמתו בדמי ימיהם, ובחייהם לא היה ביניהם שום קשר (אם כי בתקופה של 10 חודשים שהו שניהם בפאריס): בריסט גלואה, ונילס הנרי אבל. גלואה נולד בצרפת בשנת 1812. הוא היה פעיל פוליטי נלהב, והושלך בשל פעילותו לכלא. אורח חייו הפרוע גרם לחוסר הערכה כלפיו, ומאמרים ששלח לא התקבלו בכתבי-עת נחשבים. בהיותו בן 20 בלבד הסתבך בדו-קרב על לבה של נערה, ונהרג (יריבו בדו-קרב היה גדול הצלפים של הצבא הצרפתי). בערב שלפני הדו-קרב כתב את התיאוריה שנודעה לימים בשם "חבורת גלואה", ושלח אותה לחבר מתמטיקאי, שפירסם אותה רק 14 שנים לאחר מותו. בתיאוריה זו הוכיח, שמשוואה ממעלה חמישית (הכוללת חזקה חמישית) אינה פתירה באמצעות שורשים (משוואות מהמעלות השנייה, השלישית והרביעית ניתנות לפתרון באמצעות שורשים). כדי להוכיח את הקביעה הזאת, הוא הגדיר חבורה ("חבורת גלואה"). חבורה היא אוסף של מרכיבים שמקיימים ביניהם מספר תנאים מתמטיים (למשל, תוצאות של הכפלה בסדר מסוים). בדרך זו הצליח גלואה להראות, שכל חבורה פתירה אפשר לפתור באמצעות שורש, ושאין פתרון באמצעות שורש לחבורה שאינה פתורה.
 
הנרי אבל נולד בשנת 1803 בנורווגיה, כבנו של כומר עני. גם הוא, כמו גלואה, לא זכה להכרה הראויה בחייו, ורק לאחר מותו, בגיל 26, משחפת, התפרסם, בין היתר, בזכות הגדרת סוג של חבורות הנושא את שמו ("חבורות אבליות"). חבורה אבלית מקיימת חילוף סימטרי בין מערכי הכפלה של חבריה. כלומר: התוצאה שתקבל מהכפלת אל"ף בבי"ת שווה לתוצאה שמתקבלת כאשר מכפילים בי"ת באל"ף.
 
בשלב הראשון של פיתוח השיטה למיון תורות שדה רציונליות קונפורמיות הוכיח פרופ' גפנר, כי חבורת גלואה של חוג המיזוג בתורות קונפורמיות הוא תמיד אבלית, וכי כל הגדלים שמופיעים בתורות שדה קונפורמיות ניתנים לחישוב באמצעות שורשים של מספרים רציונליים.
 
שיטת המיון מתמקדת בשני גדלים שמופיעים בתורות שדה קונפורמיות: חוג המיזוג, ומטריצה מודולרית המתארת את "התנהגותה" של התיאוריה על מבנה דמוי כעך (למבנה זה יש שני כיוונים: היקף הכעך, וכיוון ניצב לו, על היקף הגליל שיוצר את הכעך), והמטריצה המודולרית מחליפה בין כיוונים אלה. מתברר, שבין שני הממדים הללו מתקיים קשר מתמטי שהתגלה על-ידי הפיסיקאי ההולנדי אריך ורלינדה. מכיוון שהמטריצה המודולרית סימטרית, אפשר למיין באמצעותה את כל תורות שדה. היות שהיחסים בין "חברי" חוג המיזוג ניתנים לתיאור באמצעות פולינומים, השורשים של הפולינומים האלה מקיימים משוואה שבעזרת חבורת גלואה יוצרת מערכת של משוואות ממעלה שלישית המתארות את היחסים בין השדות בחוג המיזוג. פתרונות של המשוואות האלה מהווים מיון מלא של כל תורות השדה הקונפורמיות על-פי חבורות גלואה שלהן.
 
בדרך זו הצליח פרופ' גפנר למיין תורות שדה קונפורמיות עד לששת השדות הראשוניים. זוהי, כמובן, כמות קטנה מאוד של תורות שדה בהשוואה לכמות הכוללת (אין-סוף אין-סופים), אבל בעיקרון, זו שיטה היכולה למיין כמות בלתי-מוגבלת של תורות שדות, על-פי תכונותיהן.
 

נקודה קריטית

כאן יהיה מי שישאל: "מה יוצא לנו מזה? למה לנו להתאמץ כל כך כדי למיין תורות שדה רציונליות קונפורמיות?" ובכן, מתברר שליכולת מיון כזאת יש משמעות חשובה בתחום חומרי מאין כמותו: חקר תכונותיהם של כל החומרים הקיימים בטבע. הדרך שבה חומרים עוברים מעברי פאזה. מעברים כאלה, מדרגה ראשונה, הם, לדוגמה, מעבר של חומרים ממצב צבירה אחד לאחר. מעברי פאזה מדרגה שנייה מתחוללים, למשל, כאשר מחממים מגנט כלשהו. בטמפרטורה מסוימת הוא מאבד את תכונת המגנטיות, ועובר ממצב צבירה "מגנט", למצב צבירה אחר: "לא מגנט" (טמפרטורה זו קרויה "טמפרטורת קירי", על שמה של מארי קירי, שגילתה אותה). נקודה שבה חומרים עוברים ממצב צבירה אחד לאחר קרויה "נקודה קריטית".
 
מעבר בין מצבי צבירה הוא תכונה מרכזית של חומרים. לכן, הבנת הדרך שבה חומרים מתנהגים בקרבת "נקודות קריטיות" שבהן מתחוללים מעברי פאזה, עשויה להוביל לפיתוח שימושים מתקדמים וחדשים בחומרים שונים. מתברר, שבמה שקשור ל"התנהגות" בקרבת נקודות קריטיות, יש דמיון רב בין חומרים שונים. חומרים ש"מתנהגים" באופן דומה ליד נקודות קריטיות, נחשבים לחברים באותה "מחלקת אוניברסליות". התנהגותה של כל "מחלקה" כזאת (ליד נקודה קריטית) מתוארת על-ידי תורת שדה קונפורמית ייחודית. במילים אחרות, מיון של תורות שדה מהווה, למעשה, מיון של כל החומרים הקיימים בטבע, על-פי תכונותיהם ו"התנהגותם" בקרבת נקודות קריטיות, שבהן מתחוללים מעברי פאזה.
 
מודלים אלה עשויים גם לשמש "שדה משחקים" לתורות שדה מורכבות יותר, המתארות, למשל, את "כללי הפעולה" של הכוחות המלכדים את הקוורקים ומאפשרים להם ליצור חלקיקים אחרים, דוגמת פרוטונים, ניטרונים ועוד. פרופ' גפנר אומר, שפתרונות של המודלים האלה עשויים גם לסייע בפתרון תורה פיסיקלית (תורת מיתרים) שתתאר במדויק את הכוחות הבסיסיים בטבע.
 

לשיתוף:

 

 

 

 

פודקאסטים
אינסטגרם