לזרום עם הזמן

 

מים זורמים בצינורות, התפתחויות ושינויים במזג האוויר, מטוסים ממריאים, זרימת הדם בעורקים, חומרים כימיים מתערבבים במערבל, אפילו חלב שנמזג לספל קפה. כל התופעות האלה מושפעות על-ידי תופעה פיסיקלית אחת:  עירבול. פיסיקאים ומתמטיקאים חוקרים את התופעה הזאת מאז המאה ה18-, כאשר המתמטיקאי ליאונרד אוילר פיתח את המשוואות הראשונות  שתיארו זרימה לא ליניארית של נוזלים. הנוסחה הזאת עברה שינויים במאה ה19- כאשר קלוד-לויס נוויאר וג'ורג' גבריאל סטוקס, שהבחינו בכך שצמיגות הנוזל משפיעה על אופי הזרימה, שילבו בנוסחה מרכיבים שמבטאים את השפעת הצמיגות.

 

משוואות נוויאר-סטוקס, ועוד מספר משוואות שנגזרות מהן, משמשות כיום בתחומים שונים, מהנדסה כימית ואווירית ועד לבניית מודלים מתמטיים לחישובי אקלים; ובכל זאת, הן צופנות בתוכן כמה תעלומות. אחת מהן נכללת בין שבע הבעיות המתמטיות המאתגרות ביותר של המאה ה21-, ברשימה שהרכיב מכון קליי בקיימבריג', מסצ'וסטס. למי שיפתור אחת מהחידות הללו מציע המכון היוקרתי פרס של מיליון דולר. השאלה שעל הפרק בעניין משוואות נוויאר-סטוקס היא: האם הפתרונות שלהן "נשברים" (או "מתפוצצים") בזמן, או האם הם ימשיכו להיות חלקים ורציפים עד אין סוף. הביטוי "נשבר" או "מתפוצץ" בהקשר זה משמעותו קבלה של ערכים אין-סופיים בחלק ממרכיבי הפתרון של הנוסחה, כאשר מחשבים את התפתחות תופעת  הזרימה לאורך זמן. אם וכאשר מתקבלים ערכים אין-סופיים, המתמטיקאים אומרים שהפתרון "נשבר" או "מתפוצץ",  ושהמודל המתמטי אינו מתאר בנאמנות את התופעה הפיסיקלית, ולכן אינו תקף. ישנם מתמטיקאים הסבורים שבפתרונות  של תופעת העירבול עשויים להתחולל אין סוף שברים בכל רגע. אבל האם זה באמת כך? האם הפתרונות באמת נשברים במרוצת הזמן? התשובה לשאלה זו נותרה בגדר תעלומה, המהווה את האתגר שעל פתרונו הציע מכון קליי את הפרס הגבוה.

 

פרופ' אדריס תיתי, מהמחלקה למדעי המחשב ומתמטיקה שימושית במכון ויצמן למדע, מעוניין בדרכים שבהן המתמטיקה מסוגלת לתרום באופן משמעותי לפתרון בעיות בעולם האמיתי, כגון תופעת זרימת הנוזלים: "פיסיקאים שואלים 'מהם המנגנונים שמונחים ביסוד התופעה הזאת?'מהנדסים שואלים 'איך אני יכול לשלוט בתופעה הזאת?' אבל המתמטיקאים לומדים מהתצפיות של השניים האחרים, מסיקים מסקנות באשר לבסיס התופעה, מפתחים מסגרת מתמטית מתאימה (ולעיתים תיאוריה חדשה לחלוטין), שמסייעת לנו להבין ולחקור בדייקנות את התופעה ולענות על השאלות האלה".

 

פרופ' תיתי הראה, שכמה גרסאות של נוויאר-סטוקס שמשמשות לחישוב דפוסים של זרימה עירבולית, מסוגלות להניב תוצאות רציפות לכל הזמנים ללא שבר. הראשונה שבהן היא גרסת המשוואות המתארת זרימות בורגיות (מסלול זרימה המזכיר בורג: קווים סימטריים של זרימה המסתחררים מסביב למערבולת מרכזית). "אבל זרימה כזאת", אומר פרופ' תיתי, "אינה זרימה תלת-ממדית אמיתית. אפשר לתאר את קווי הזרימה האלה כמונחים על משטח דו-ממדי, ובדרך זו להקטין את סיבוכיות הבעיה". עבודה זו בוצעה בעבר, בעת שפרופ' תיתי עבד באוניברסיטת קורנל שבניו-יורק. יחד עם עמיתיו הוא הצליח להוכיח, שזרימות בורגיות הן בלתי-  משתנות: ברגע שהן מתחילות, הן ממשיכות לזרום לעולם לפי נוסחת הזרימה ההתחלתית.

 

קבוצת המשוואות השנייה היא באמת תלת-ממדית, דבר שמסבך ומסרבל את הפתרון. ההוכחה החדשה של פרופ' תיתי לרציפות בלתי-נשברת של פתרונות המשוואות האלה, שאותה פיתח באחרונה במכון ויצמן למדע, פתרה בעיה פתוחה מרכזית בתחום של תהליכי זרימה בתחום הגיאופיסיקה, ותרמה תרומה משמעותית לקידום הידע בתחום זה. מדובר במשוואות שנוסחו בשנת 1922 ככלי לחיזוי מזג אוויר, בידי לואיס פרי ריצ'ארדסון, אחד הראשונים שניסו ליצור מודל מתמטי לחישוב התנועה המורכבת של אוויר מסביב לכדור-הארץ. במטלה זו הוא נאלץ להתמודד עם תנועה בשכבה גדולה, דקה מאוד ומעוגלת,  המשולבת בתנועה אנכית המתחוללת באותה שכבה דקה (אילו כדור-הארץ היה תפוח גדול, האטמוספירה הייתה הקליפה הדקה שלו). כדי להתאים את המודל המתמטי לתופעות אמיתיות, ניצל ריצ'ארדסון את רדידות האטמוספירה, ובאמצעות קירובים פישט את משוואת התנועה האנכית, והחליף אותה בשיווי המשקל שבין כוחות לחץ האוויר לבין כוחות הציפה (שיווי משקל הידרוסטטי).

 

"ה'משוואות המותאמות של דינמיקות גדולות של האוקיינוס והאטמוספירה' של ריצ'ארדסון פגעו באלגנטיות של הסימטריה שמאפיינת את משוואות נוויאר-סטוקס", אומר פרופ' תיתי. באופן מתמטי, המשוואות האלה נראות מסובכות יותר מהמשוואות  המקוריות של נוויאר וסטוקס, ואחרי כל המאמץ והוויתורים האלה, לפני שנים אחדות התברר שגם הן משיגות תוצאות רציפות לאורך זמן  מוגבל בלבד". אבל פרופ'תיתי הצליח באחרונה להוכיח, כי אחרי ככלות הכל הפתרונות למשוואות של ריצ'ארדסון אכן רציפים לאורך זמן, כלומר, שהם אינם נשברים בזמן. תוצאה זו התקבלה בעולמם של המתמטיקאים בהפתעה, והיא נחשבת כהתקדמות משמעותית בפיתוח מודלים מתמטיים תקפים לתהליכי זרימת נוזלים בתחום הגיאופיסיקה.

 

פרופ' תיתי: "אחד הדברים היפים באתגרים מתמטיים כמו משוואות נוויאר-סטוקס הוא, שקל יחסית לנסח אותן ולהסבירן, אבל הן מעסיקות אותנו בחיפוש פתרונות למשך עשרות, מאות, ולפעמים אפילו אלפי שנים".

 

פרופ' אדריס תיתי נולד וגדל במשפחה ערבית בעכו העתיקה. הוריו לא סיימו אפילו את לימודיהם בבית-הספר היסודי, אבל התעקשו שארבעת בניהם יקבלו את החינוך הטוב ביותר בבית-הספר הפרטי "טרה סנטה" שבעכו. שם, בעזרת מורים שהוא בקשר איתם עד היום הזה, התגלה אדריס תיתי הצעיר כתלמיד מצטיין במתמטיקה ובפיסיקה. בשנת 1974 הוא החל ללמוד בטכניון. לאחר קבלת תואר שני במתמטיקה עיונית מהטכניון, הוא עבר למתמטיקה שימושית, סיים את  לימודיו לתואר שלישי באוניברסיטת אינדיאנה, וביצע מחקר בתר-דוקטוריאלי באוניברסיטת שיקגו. לאחר מכן כיהן  במשך שנתיים כמרצה באוניברסיטת קורנל, ואז עבר לאוניברסיטת קליפורניה באירוויין, שם הועלה לדרגת פרופסור  מלא בשנת 1989. עשר שנים לאחר מכן, בשנת 1999, הגיע לראשונה למכון ויצמן למדע כפרופסור אורח. בשנת 2003 הצטרף  למחלקה למדעי המחשב ומתמטיקה שימושית במכון. בנוסף לעבודתו המדעית במכון הוא רואה עצמו מחויב לתרום להעלאת רמת החינוך המדעי בישראל בכלל ובמגזר הערבי בפרט.