אליס ובוב אוהבים לשחק משחקים מתמטיים. באחד המשחקים שהם נוהגים לשחק הם מטילים מטבע ומחשבים את הסיכוי שלהם לנחש את התוצאה. מהו הסיכוי שיצליחו אם, למשל, בוב יטיל את המטבע ואליס תצטרך לנחש את התשובה? ולהיפך: כאשר אליס תטיל את המטבע, ובוב יצטרך לנחש?

 

"ישנן כל מיני גרסאות למשחק הזה", אומרת פרופ' אירית דינור מהמחלקה למדעי המחשב ומתמטיקה שימושית במכון ויצמן למדע. "הגרסאות השונות והפתרונות המתמטיים לכל גרסה נותנים בידינו תובנות כיצד משותף מידע בעולם האמיתי, במדעי המחשב, בענפי המתמטיקה השונים, ואפילו בעולם הפיסיקה הקוונטית והתקשורת הקוונטית". פרופ' דינור ושותפיה למחקר השתמשו באחרונה באחת מגרסאות המשחק כדי להבין איך אפשר לשחק אותו במערכת שבה חלים חוקים "קוונטיים". מחקר זה עשוי לסייע במאמץ לרתימת התכונות המוזרות של החלקיקים הקוונטיים על מנת לבנות דרכים חדשות לשימוש במידע – לדוגמה, בתקשורת קוונטית.

 

"במשחק הטלת המטבע", אומרת פרופ' דינור, "קל לטעות ולחשוב שאחרי שאליס ובוב הטילו את המטבע וניחשו את התוצאה, הסיכוי שלהם לנחש נכונה יהיה 25%, כיוון שלכל אחד מהם היה סיכוי של 50% לנחש את התשובה הנכונה". אבל אם, לצורך העניין, כל אחד מהם ינחש שהשני הטיל את אותה התוצאה שקיבלו בעצמם – הם מעלים את הסיכוי שלהם לזכייה ל-50%. אם אליס ובוב ממשיכים לשחק את המשחק – כאשר בכל פעם עליהם לנחש את התשובה הנכונה כדי לנצח – האם ישנם טריקים נוספים שבהם הם יכולים להשתמש, ואשר עשויים להגביר את סיכוייהם לזכות? התשובה היא, למרבה הצער, לא ממש. סיכוייהם יפחתו בכל סיבוב של המשחק: חישובים מתמטיים מובילים למסקנה, שבכל המקרים, ככל שיימשך המשחק זמן רב יותר, כך הסיכוי לנחש את התוצאה פוחת – ומתקרב לאפס.

 

אבל כאשר פרופ' דינור ושותפיה למחקר שינו את החוקים פעם נוספת, ונכנסו לעולם של הפיסיקה הקוונטית, הסתבכו העניינים אפילו יותר: המידע שבידי אליס ובוב התעצב כעת לכדי חלקיקים קוונטיים.

 

כדי להבין את המשחק יש להבין, קודם לכל, כמה עקרונות קוונטיים בסיסיים. העיקרון הראשון הוא, שחלקיק קוונטי מסוגל להימצא ביותר ממצב אחד בעת ובעונה אחת ("סופרפוזיציה"), אבל כאשר מישהו מודד אותו (או מתבונן בו), הוא "קורס" למציאות אחת בלבד. לפיכך, כל חלקיק הנתון בסופרפוזיציה יכול להכיל הרבה יותר מידע מאשר "כן" או "לא". העיקרון השני הוא השזירה הקוונטית. שזירת החלקיקים של אליס ובוב זה בזה תוביל לתופעה מוזרה: גם אם ירחיקו את שני החלקיקים האחד מהשני, הם ימשיכו לשמור על תיאום מושלם, כך שכל שינוי שיתרחש במצבו של אחד החלקיקים יוביל לשינוי מיידי במצבו של החלקיק השני.

 

שני העקרונות האלה הועלו לראשונה בתחילת המאה הקודמת, ולמעשה, אלברט איינשטיין מפורסם בכך שהתנגד לרעיון השזירה. במאמר שכתב איינשטיין, בשיתוף עם בוריס פודולסקי ונתן רוזן, הציגו המדענים פרדוקס שגרס, כי היות שמידע אינו מסוגל לנוע בין חלקיקים במהירות העולה על מהירות האור, חייבים להיות משתנים נוספים – חבויים – השולטים בתהליך, אחרת תהיה התוצאה "ידועה" לפני שהמדידה מתבצעת. אולם, בשנים שחלפו קרסו התיאוריות של איינשטיין ועמיתיו ביחס למשתנים חבויים, ובמסגרת ניסויים כבר נמצאה הוכחה לתופעת השזירה. אבל הפרדוקס בעינו עומד: כיצד מסוגלים שני חלקיקים "לחלוק מידע" ולתאם את מצבם ללא זמן תגובה, גם כאשר המרחק ביניהם גדול מאוד?

 

נחזור לאליס ובוב. במשחק השזירה, אם אליס מודדת את החלקיק הקוונטי שלה, ובכך גורמת לו לקרוס לכדי מצב מסוים, אזי החלקיק המסובך של בוב מוכרח, מייד, "להתיישר" בהתאם לכך. לכן, שזירת חלקיקי מידע עשויה להיתפס כרמאות. האם יזכו אליס ובוב בכל סיבוב של המשחק, כיוון שנראה שהתוצאה נקבעה מראש, או שמא יוכרע המשחק על-פי חוקים אחרים? במילים אחרות, כיצד ייושמו התנאים שמציב פרדוקס איינשטיין-פודולסקי-רוזן במשחק זה?

 

פרופ' דינור ושותפיה למחקר הראו, באופן מתמטי, שמשחק המבוסס על חלקיקי מידע שזורים יתאים את עצמו, בסופו של דבר, לתבנית של כל המשחקים האחרים: ככל שירבו אליס ובוב לשחק, כך יפחתו סיכוייהם לזכות. שזירה אולי תגדיל את סיכוייהם בתחילת המשחק, כיוון שלבוב יהיה מושג לגבי התוצאה של אליס, אבל היות שהטעות עדיין אפשרית – הסיכוי ימשיך לדעוך, ולהתקרב לאפס, ככל שימשיכו לשחק את המשחק. כמו הטלת המטבע, התוצאה של אליס עדיין תהיה אקראית: מדידתה אמנם תגרום לקריסת המערכת הקוונטית למצב מסוים, אבל לא תהיה כל אפשרות לחזות מה יהיה מצב זה, או לשלוט בו. לכן, בעוד הסיכויים עבור כל אחד מהם יישארו זהים, התבנית תישאר כשהייתה, והסיכויים ימשיכו לקטון ככל שיימשך המשחק. כלומר, שזירה עשויה להוות, במקרה הטוב, מעין רמאות חלקית.

 

אם תקשורת קוונטית תהפוך למציאות, יוכלו אליס ובוב לרתום אותה לצורכי הצפנה – למשל, כדי לזהות הפרעות במסרים שנשלחו ביניהם. אף על פי שטכנולוגיה זו רחוקה ממימוש, היא תזדקק למתמטיקה העכשווית כדי לקבוע את חוקי הפעלתה ועל מנת לחזות את גבולותיה.

 

 

 

מאז ילדותו ידע דמיטרי גורביץ' שהוא ילמד מדעים מדויקים, אך אפילו כאשר התקבל לאוניברסיטה בגיל 15, לאחר שעלה ארצה מרוסיה, עדיין לא היה בטוח שהוא מעוניין בקריירה אקדמית. הספקות נעלמו רק לאחר שהתוודע לתורת ההצגות, תחום מופשט ביותר במתמטיקה. "הרגשתי כאילו טיפסתי לפסגת הר גבוה, ופתאום נגלו לעיני חלקים של כדור-הארץ שעד אז לא ידעתי על קיומם", נזכר ד"ר גורביץ', שהצטרף באחרונה למחלקה למתמטיקה במכון ויצמן למדע. "חוויתי שמחה עצומה של תגלית. פתאום הבנתי הקשרים שכלל לא הכרתי בין מושגים שונים".

 

ד"ר גורביץ' עוסק במתמטיקה במשך יותר ממחצית חייו (הוא בן 29), וזאת במידה רבה בזכות לימודיו בבית-הספר מספר 30 האגדי בסנט-פטרסבורג, אז לנינגרד, שהיה ידוע כחממה לגאונים מתמטיים: תלמידיו זכו במספר גבוה במיוחד של פרסים באולימפיאדות עירוניות ולאומיות, ורבים מהם הפכו לימים למתמטיקאים מובילים.

 

לאחר שעלה לארץ עם הוריו בשנת 1995, החל גורביץ' ללמוד מתמטיקה באוניברסיטת תל-אביב במסגרת ההסדר הקרוי "מעמד מיוחד", אשר איפשר לו להתקבל לאוניברסיטה במקביל ללימודיו בבית-הספר התיכון. בקורס של פרופ' יוסף ברנשטיין נחשף לקסמה של תורת ההצגות. לימים בחר בתורה זו כנושא המחקר שלו, אך קודם לכן קיבל תואר ראשון בהצטיינות בגיל 18, השלים את שירותו בצה"ל, ובגיל 22 התקבל כתלמיד מחקר במכון ויצמן למדע. לאחר שקיבל את התואר השני ואת הדוקטורט שלו ממכון ויצמן, שניהם בהנחיה משותפת של פרופ' ברנשטיין מאוניברסיטת תל-אביב ופרופ' סטיבן גלברט מהמכון, ביצע ד"ר גורביץ' מחקר בתר-דוקטוריאלי במכון ללימודים מתקדמים שבפרינסטון, ולאחר מכן באוניברסיטת ראטגרס, ניו-ג'רסי. כעת הוא מבצע מחקר על תורת ההצגות כחוקר בכיר במכון ויצמן, מעמד בו זכה בינואר השנה.

 

עוצמתה של תורת ההצגות, אשר עוסקת בסימטריות של מרחבים ליניאריים, נובעת משילובם של שני מושגים בסיסיים במתמטיקה: שיטת הליניאריזציה ומושג הסימטריה, המופיע בבעיות רבות במתמטיקה, בפיסיקה ובמדעים אחרים. לתורה זו מיגוון רחב של יישומים – בתחומים אחרים של מתמטיקה, במכניקה קוונטית, בהנדסה ובמדעי המחשב, אך יישומו של מחקר בסיסי לוקח זמן רב. עברו כמה עשרות שנים עד שמושגים מסוימים של תורת ההצגות, אשר פותחו בסוף המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20, יושמו בטומוגרפיה ממוחשבת, המשמשת לדימוי רפואי. עשרות שנים חלפו עד שמושגים אחרים סייעו בזירוז חישובים או סיפקו פתרונות לבעיות חשובות במדעי המחשב, כגון בעיית ה-expander ("גרף מרחיב"), שפתרונה מאפשר לחבר משתמשים רבים לרשת תקשורת אחת באופן אופטימלי.

 

קשה לחזות אילו יישומים עשויים לצמוח יום אחד ממחקריו הנוכחיים של ד"ר גורביץ'. יחד עם עמיתיו הוא כבר הצליח להוכיח את ה-multiplicity one conjectures ("השערות חוסר ריבוי"), שלא נמצא להן פתרון במשך 20 שנה, ובהמשך תרם מספר תרומות נוספות. דבר אחד בטוח: פסגת ההר שאליה הוא מטפס במחקריו גבוהה במיוחד - הוא עובד על הצגות של חבורות לא-קומפקטיות, הידועות במורכבותן. מפסגה זו הוא מקווה לגלות נופים חדשים, הנסתרים כיום מרוב המדענים.