לכל סיפור טוב יש שורשים עמוקים ועתיד מזהיר. במקרה זה, העתיד המזהיר (הבדיוני) מתואר בספר "עולם הטבעת" של הסופר זוכה פרס "הוגו", לארי ניבן. עולם הטבעת בנוי על-פי רעיון של הפיסיקאי פרימן דייסון, שטען כי הדרך לגלות תרבויות תבוניות ביקום היא באמצעות חיפוש אחר "כדורי ענק שהן יקימו סביב השמשות שלהן (במקום לחפש כוכבי-לכת שהם מעטים יחסית ושטחם קטן)". גיבוריו של ניבן תרים את עולם הטבעת, ובין היתר הם מגלים בו, באיזור המגורים של בוני הטבעת (שנעלמו), מתקנים שונים המבוססים על חומרים מוליכי-על שפועלים בטמפרטורת החדר. החומרים האלה, מסביר ניבן, הם ההוכחה הבולטת לרמתם המדעית העילאית של בוני הטבעת. שורשיו של הסיפור מעמיקים עד שנת 1911, בה גילה הייקה קמרלינג אונס את תופעת מוליכות-העל (עבודה אחרת שלו זיכתה אותו, מאוחר יותר, בפרס נובל בפיסיקה).

 

מוליכות-על מתבטאת בהיעדרה המוחלט של התנגדות למעבר זרם חשמלי בחומר. היישומים האפשריים של מוליכי-על נעים בין העברת אנרגיה חשמלית למרחק רב ללא הפסדים, ועד לרכבות המרחפות מעל לפסים, ללא חיכוך, מה שמאפשר תנועה מהירה תוך צריכת דלק מופחתת (יישום זה מבוסס על העובדה, שמוליכי-על דוחים שדות מגנטיים). הבעיה היא, שמוליכות-על מתחוללת בטמפרטורות נמוכות מאוד – קרוב לאפס המוחלט. לפני כ-30 שנה התגלו מוליכי-על בטמפרטורות גבוהות יחסית: מינוס 137 מעלות צלסיוס "בלבד". אבל כל הניסיונות לשפר את התוצאה הזאת לא עלו יפה.

 

מדוע "מתקלקלת" מוליכות-העל כאשר מחממים את החומר מעל למינוס 137 מעלות? איש אינו יודע. למעשה, איננו מבינים את הסיבות ואת המנגנונים שיוצרים את מוליכות-העל בטמפרטורות גבוהות יחסית. המדענים סבורים, שהבנת הסיבות לכך תקדם את היכולת לפתח מוליכי-על שיפעלו בטמפרטורות גבוהות יותר, מה שאולי יאפשר יישומים פשוטים יותר של מוליכי-על.

 

בניסיונותיהם להבין את מקורותיה של מוליכות-העל, החלו פרופ' דן שחר ותלמיד המחקר מעוז עובדיה, מהמחלקה לפיסיקה של חומר מעובה במכון ויצמן למדע, "לקלקל" מוליכי-על, במטרה לגלות את הנקודה המדויקת שבה הם מאבדים את התכונה הזאת. אם יבינו מה גורם לאיבוד התכונה, ייתכן שיגבשו תובנות חדשות ביחס לגורמים להופעת מוליכות-העל.

 

יש דרכים שונות לקלקל מוליך-על. אחת מהן מבוססת על הריסתם של חלקיקים מיוחדים הקיימים במוליכי-על, אשר מכונים "צמדי קופר". הם מורכבים מצמדים של אלקטרונים היוצרים יחד מעין חלקיק אחד, וכאשר הורסים את "צמדי קופר", מאבד מוליך-העל את תכונת מוליכות-העל.

 

דרך אחרת מבוססת על "מערכת היחסים המיוחדת" הקיימת בין מוליכי-על לבין שדות מגנטיים החודרים לתוכם כמעין מערבולות זרם זעירות, שכל אחת מהן מכילה במרכזה שטף מגנטי חלש. בתנאים אופטימליים מתארגנות המערבולות האלה במרחקים שווים זו מזו, בתצורה המזכירה את סידור המולקולות בגביש מוצק. עם זאת, בתנאים מסוימים עשויה להתחולל "המסה" של ה"גביש", כך שהמערבולות יעברו למצב של אי-סדר, המזכיר את מבנה החומר כשהוא נוזל. כאשר המערבולות נעשות "נוזליות" ומתחילות "לזרום" – מאבד מוליך-העל את תכונת המוליכות. אפשר "לקלקל" מוליך-על גם כאשר מכניסים לתוכו זיהומים שונים, וגם כאשר מחממים אותו. אבל פרופ' שחר ומעוז עובדיה בחרו לעשות זאת באמצעות הפעלה של שדה מגנטי חזק. הם שינו באיטיות את עוצמת השדה המגנטי ואת הטמפרטורה, וגילו שבשילוב מסוים, החומר מאבד לחלוטין את היכולת להוליך זרם חשמלי. במילים אחרות, הם גילו את קיומה של תופעה שאפשר לכנותה "בידוד-על". בשלב זה מדובר בתכונה המתקיימת בטמפרטורות נמוכות מאוד, קרוב לאפס המוחלט, אבל אם תימצא דרך ליצור מבודדי-על שיפעלו בטמפרטורת החדר, אפשר יהיה להשתמש בהם, בין היתר, לייצור טרנזיסטורים שאינם מאבדים חשמל, וכן סוללות ומצברים חשמליים שיפעלו זמן רב בהרבה בהשוואה לאלה העומדים לרשותנו כיום.

 

במחקר שביצעו המדענים באחרונה, ואשר התפרסם בכתב-העת המדעי Nature Physics, הם דיווחו, כי ההבדל בין מצב של מוליך-על למצב של מבודד-על קטן למדי, וכי המעבר ביניהם מהיר. מדובר בסוג של דמיון וקירבה בין הפכים אשר מזכיר, אולי, את הקירבה הידועה בין אהבה לשנאה.

 

מה פשר הקירבה הזאת? המדענים החלו להפעיל באיטיות שדה מגנטי על מוליך-על ועל מבודד-על. כך גילו, שבנקודה מסוימת מתקיים שוויון בין מידת המוליכות החשמלית של מבודד לבין מידת הבידוד של מוליך.

 

במצב מוליך-על, המערבולות המגנטיות נעולות, ואילו "צמדי הקופר" זורמים. במצב מבודד, המצב הפוך: "צמדי הקופר" מאורגנים ונעולים, ואילו המערבולות המגנטיות זורמות. אבל המדענים גילו, שבנקודה שבה מתקיים השוויון בין המוליכות של המבודד לבין מידת הבידוד של המוליך, מתקיימת סימטריה מסוימת ב"זוגיות המוזרה" שבין "צמדי הקופר" לבין המערבולות המגנטיות. הבנת הסימטריה, או התלות הזאת, כך מקווים המדענים, עשויה לחשוף, באחד ממחקריהם הבאים, תכונה עמוקה של תופעת מוליכות-העל, ואולי של בידוד-העל.

 

 

ב-8 באוגוסט בשנת 1900, בקונגרס המתמטיקאים הבין-לאומי שהתקיים בפריס, קם דוד הילברט, אולי המתמטיקאי הבולט ביותר של סוף המאה ה-19 וראשית המאה ה-20, והציג 10 שאלות פתוחות (מתוך רשימה מלאה שכללה 23 שאלות שאת חלקן בחר שלא להציג באירוע זה). "אלה", אמר הילברט, "הבעיות שמן הראוי שיעסיקו מתמטיקאים - ושיימצא להן פתרון - במאה ה-20". רוב הבעיות שהציג הילברט אכן נפתרו במאה ה-20, אך כמה מהן עודן פתוחות.

 

הבעיה ה-16 ברשימת הילברט כללה שני חלקים: הראשון עסק במשוואות אלגבריות מישוריות, והשני במשוואות דיפרנציאליות מישוריות. חלקה השני של הבעיה נוסח, למעשה, על-ידי הנרי פואנקרה עוד לפני שנת 1900, ובכל זאת עד היום אין התקדמות משמעותית לקראת פתרונו. על אף הקושי שהבעיה טומנת בחובה, אפשר לנסח אותה בפשטות יחסית: כמה מעגלים גבוליים יכולים להיות למשוואה דיפרנציאלית מישורית מדרגה נתונה?

 

זה אולי המקום לומר שפתרונות של משוואה דיפרנציאלית מישורית מתבטאים כקווים עקומים במישור, שאינם חותכים את עצמם. כאשר קו כזה חוזר על עקבותיו ו"נסגר", הוא נקרא מעגל. בדרך כלל, כל הפתרונות הקרובים למעגל חגים סביבו הלוך וסוב ומרחקם אליו קטן והולך בכל סיבוב. במקרה זה נקרא המעגל "מעגל גבולי", שכן הוא הגבול של כל הפתרונות השכנים לו. חשיבותם של המעגלים הגבוליים נובעת מכך שהם מלמדים לא רק על עצמם, אלא על כל הפתרונות הסמוכים להם.

 

ניסיונות שונים לפתור את הבעיה לאורך השנים הוכחו בסופו של דבר כשגויים. ההתקדמות המשמעותית ביותר נעשתה על-ידי המתמטיקאים יולי איליישנקו וז'אן אקאל, אשר הוכיחו (באופן בלתי תלוי) שלכל משוואה דיפרנציאלית במישור יש מספר סופי של מעגלים גבוליים - אך עבודתם זו, שהייתה פרויקט אדיר, עדיין רחוקה מלספק תשובה לבעיה של הילברט. משהתברר לקהילת המתמטיקאים שהבעיה בכללותה עומדת בכל מאמצי הפתרון, הקדישו מתמטיקאים רבים את מרצם לבעיות-ביניים "מוחלשות" שבהן, כך קיוו, יוכלו להשיג התקדמות.

 

אחד מהכיוונים החל מהצעתו של איליישנקו לוותר בשלב זה על משוואות דיפרנציאליות כלליות ולהתמקד במשוואות מיוחדות - המשוואות ההמילטוניות. משוואות מסוג זה מופיעות בניסוחים פיסיקליים של מערכות מכניות, ונודעה להן חשיבות מיוחדת - שכן מתקיים בהן שיווי משקל אנרגטי מושלם, ובפרט מתברר שאין להן מעגלים גבוליים כלל.

 

אבל זו רק ההתחלה. מתברר שאפילו השינוי הקטן שבקטנים שובר בדרך כלל את שיווי המשקל האנרגטי של המשוואה, ולאחריו נולדים, כאילו יש מאין, מעגלים גבוליים. איליישנקו הציע לנסות ולהבין כמה מעגלים יכולים להיווצר באופן זה ממערכת המילטונית, או לפחות לקבוע חסם עליון למספרם. בעיה זו נחקרה תחת מספר שמות על-ידי חוקרים שונים, אך בשמה הנפוץ ביותר היא נקראת "הבעיה ה-16 האינפיניטיסימלית".

 

פרופ' סרגי יעקובנקו, ראש המחלקה למתמטיקה במכון ויצמן למדע, התמקד במקרה פרטי של הבעיה ה-16 האינפיניטיסימלית בעבודת המאסטר שלו בהנחיית איליישנקו באוניברסיטת מוסקבה בברית-המועצות. "מאז", הוא אומר, "אני חוזר לשאלה הזאת שוב ושוב. זה, בשבילי, סוג של מגדלור שמושך אותי אליו ללא הרף". שנים לאחר מכן, ביחד עם תלמידו דמיטרי נוביקוב, כיום פרופסור במחלקה למתמטיקה במכון ויצמן למדע, הצליח פרופ' יעקובנקו לקבל כמה תוצאות ביניים. אבל הדרך לפתרון הבעיה ה-16 האינפיניטיסימלית נותרה עדיין חסומה.

 

חלפו עוד שמונה שנים, ומי שהציץ למשרדו של פרופ' יעקובנקו, נתקל בדממה של מחשבה עמוקה - ובשש רגליים שנשענו ברישול על השולחן. רגליהם של פרופ' יעקובנקו, ד"ר נוביקוב ותלמיד המחקר, דאז, גל בנימיני. "מלחמת מוחות מול קיר חוסם", מתאר זאת פרופ' יעקובנקו. "זו הייתה התקופה המרגשת והמסעירה ביותר בחיי המקצועיים".

 

ד"ר בנימיני: "יום אחד בזמן שצעדתי סביב המכון, כהרגלי, חשבתי על העבודה של תלמיד אחר של פרופ' יעקובנקו, ד"ר אלקסיי גריגורייב. לפתע עלתה במוחי המחשבה שניתן 'לסובב' או 'למתוח' את התמונה שהוא צייר בדרכים שונות".

 

לאחר כל סיבוב ומתיחה אפשר היה לבחון את רעיונותיהם של גריגורייב, יעקובנקו, נוביקוב ואחרים מזווית חדשה - ולעתים התגלה מידע שקשה היה לראותו מלכתחילה. המידע הנוסף שהתקבל בדרך זו איפשר לשלושת המתמטיקאים ממכון ויצמן למדע לקבוע חסם עליון אשר מהווה פתרון מלא של הבעיה ה-16 האינפיניטיסימלית.

 

"זה", אומר פרופ' יעקובנקו, "עדיין רחוק מאוד מפתרון מלא של הבעיה ה-16 של הילברט. אבל גם הבעיה ה-16 האינפיניטיסימלית עמדה פתוחה במשך 50 שנים עד שהצלחנו למצוא עבורה פתרון בדרך של קביעת חסם עליון. העבודה הזו היא אחת מההתקדמויות המשמעותיות ביותר שהתחוללו בתחום מזה כמה עשורים".
 

 

עבודת שורשים

 

 

אישי